A natureza da corrente de curto-circuito trifásica Parte 1/2

1. Introdução

 O objetivo deste artigo é fornecer elementos para um melhor entendimento da natureza da corrente de curto-circuito trifásica. A corrente de curto-circuito trifásica é utilizada para determinar os esforços térmicos e dinâmicos que os equipamentos do sistema elétrico devem suportar na avaliação da capacidade de abertura e fechamento de disjuntores e dispositivos que secionam o curto-circuito, na operação de relés, dimensionamento e análise de saturação de transformadores de corrente, no cálculo dos efeitos do arco elétrico, na análise de oscilografias de relés digitais e outros.

Infelizmente, devido à existência de alguma complexidade matemática, a análise do curto-circuito trifásico tem sido realizada de forma superficial, impedindo um entendimento mais profundo da natureza real e do comportamento físico da corrente de falta. Dessa forma, muitos profissionais ligados à área de proteção elétrica ficam privados de um conhecimento fundamental no exercício da sua profissão.

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É sabido que todo curto-circuito trifásico apresenta uma componente alternada simétrica e uma componente contínua decrescente. A corrente de curto-circuito próxima a um gerador (nos seus terminais, por exemplo) apresenta um decaimento no seu valor, tanto da componente alternada simétrica quanto da componente contínua. Este comportamento é caracterizado por uma “fonte local” para o curto-circuito. Nesse cenário, a reatância varia ao longo do tempo, de forma que o curto passa pelos períodos subtransitório, transitório e permanente.

No entanto, quando o curto-circuito está mais afastado do gerador (existindo uma linha de transmissão relativamente longa entre o ponto de defeito e o gerador, por exemplo), não ocorre o decaimento da componente alternada simétrica, mas apenas da componente contínua. Nesse caso, o curto é denominado “quilométrico”, ou na terminologia inglesa “NACD” (No Alternating Current Decrement) e a reatância vista do ponto de curto-circuito pode ser considerada constante.

De forma geral, considera-se que o curto-circuito apresenta “fonte local” quando existe uma reatância externa ao gerador, a qual é menor ou igual a 1,5 vezes a reatância do gerador. Em outras palavras, isto significa que o curto após a reatância adicional é maior ou igual que 40% do valor do curto nos terminais do gerador. Inversamente, pode-se afirmar que o curto-circuito é “quilométrico” se existe uma reatância externa maior que 1,5 vezes a reatância do gerador, de forma que o curto após a reatância adicional é menor que 40% do valor do curto nos terminais do mesmo.

Observa-se que nos dois tipos de curto-circuito, a resistência é considerada constante, uma vez que a análise se dá à frequência fundamental. Neste trabalho será abordado apenas o curto-circuito “quilométrico” (NACD), ficando o curto com “fonte local” para outro trabalho.

 

2. Considerações para análise

A análise de circuitos trifásicos equilibrados (tensões equilibradas e impedâncias iguais nas fases) pode ser reduzida a apenas uma fase, com a tensão fase-neutro aplicada em série com a impedância equivalente de uma fase. Isto ocorre devido às correntes serem iguais em módulo e defasadas 120º umas das outras.

Como no curto-circuito trifásico a rede é equilibrada, a análise deste tipo de curto-circuito é simplificada considerando-se uma fonte de tensão senoidal em série com uma impedância constante (curto quilométrico) formada essencialmente por uma resistência (R) e uma reatância (L), que constituem a impedância Thévenin vista do ponto de defeito. O que foi visto está resumido na Figura 1.

Podemos, portanto, ligar o ponto P (local do curto trifásico) ao ponto N (neutro do sistema) através de um fio condutor, sem nenhum impacto no circuito (Figura 2-b). Dado que o circuito é equilibrado, temos:

Agora podemos calcular a corrente de curto-circuito através de qualquer um dos três circuitos fechados que utilizem o fio neutro como retorno. Por exemplo, aplicando-se a lei de Kirchhoff para a fase A, no laço NAPN, obtém-se o circuito da Figura 2-c, do qual se pode concluir:

Sabe-se que İ_b está defasada de İ_a de 120°, e İ_c defasada de İ_b de 120°. Na equação (2-2), V_an  é o valor eficaz da tensão fase-neutro (V_rms), e então, | İ_a | será o valor eficaz (I_rms) da corrente na fase A. A equação (2-3) deixa claro que | İ_a | é o módulo do próprio curto-circuito trifásico, uma vez que as três correntes são iguais. V_max é o valor de pico da onda de tensão senoidal.

Será mostrado adiante que o valor eficaz da corrente obtido na equação (2-2) corresponde ao valor eficaz da componente alternada simétrica da corrente de curto-circuito trifásica. Para um determinado sistema de potência, o curto-circuito em uma barra qualquer pode ser calculado conforme indicado anteriormente, porém, é necessário primeiramente obter o equivalente do sistema (aplicação do teorema de Thévenin).

 

3. Equação da corrente instantânea

Tendo em vista as considerações anteriores e presumindo uma fonte de tensão senoidal, o comportamento da corrente de falta trifásica, em função do tempo, envolve a solução de uma equação diferencial, equação (3-1). Essa equação, obtida a partir do circuito da Figura 1, é não homogênea e de primeira ordem.

 

R = resistência do circuito (Ohms);

L = indutância do circuito (Henrys);

i(t) = corrente em um instante de tempo qualquer, na onda de corrente periódica (Ampere ou kA);

E_m = valor da crista (pico) da onda de tensão senoidal da fonte (Volts ou kV);

ω = velocidade angular, rad/s. (ω = 2.π.f, onde f é a frequência (ciclos/s));

t = tempo, em segundos;

λ = ângulo sobre a onda de tensão senoidal para qual o curto-circuito é iniciado, dado em rad (radianos).

 

O ângulo λ é o ângulo no qual a tensão passa por zero antes de ocorrer o curto-circuito. Este estudo considera que a onda de tensão passa pelo zero das abscissas quando  e sobe na direção positiva do eixo das ordenadas, conforme visto na Figura 3-a. Na Figura 3-b observa-se a tensão crescendo no sentido negativo do eixo das ordenadas a partir de .

Este detalhe é importante, uma vez que a forma de apresentação (forma de onda) da corrente de curto-circuito depende da forma de evolução (crescimento) da onda de tensão na sua primeira passagem por zero antes da falta ocorrer. O ângulo inicial pode ser expresso em graus, λ = 0º, λ = -23º, λ = -30º, ou em radianos, como λ = –^π/₂, λ = –^π/₆, etc. Assumindo a corrente de pré falta igual a zero, a solução da equação (3-1) torna-se:

Na equação (3-2), ø é o ângulo da impedância e também o ângulo de defasamento entre tensão e a corrente. Verifica-se que a corrente de curto-circuito trifásica é composta por duas componentes, sendo uma componente alternada simétrica permanente (componente AC), e uma componente exponencial decrescente. Quando o tempo t tende ao infinito (t ≈ ∞), a componente exponencial decrescente se anula e a corrente de curto-circuito se reduz ao seu valor simétrico permanente. A componente exponencial decrescente é denominada componente transitória, enquanto a componente AC, componente permanente. Observa-se que a componente transitória é unidirecional e, por isso, é denominada também componente contínua (DC), apesar de decrescente. As Figuras 4-a e 4-b mostram esse comportamento.

 

A Figura 4-a mostra as componentes da corrente de curto separadamente, componente AC (Iac) e componente DC (Idc) e também a corrente total (Icc). Nota-se que Icc = Idc + Iac. A Figura 4-b é mais usual e indica apenas a corrente total (Icc) e a componente contínua (Idc), bem como as envoltórias exponenciais de amplitude.

Deve ser notado também que o termo ^Em/_Z da equação (3-2) equivale ao valor ^Vmáx/_Z  da equação (2-2), isto é, ^Em/_Z  é o valor de pico da corrente de curto-circuito, o qual dividido por  fornece o valor eficaz da componente alternada simétrica permanente. A soma das duas componentes resulta na corrente de curto-circuito total (ou final). Verifica-se que esta é uma corrente alternada periódica, porém, assimétrica até o desaparecimento da componente contínua.

Cabe observar que, fixados λ e , a componente exponencial decai de acordo com a constante de tempo τ = ^L/_R , no caso dada em segundos.  De fato, para τ = ^L/_R segue que:

Logo, para t = ^L/_R , a componente contínua cai a 36,8% do seu valor máximo inicial, valor este que ocorre no instante t = 0, em que , isto é, 100% do valor da componente contínua.

O ângulo de fase  (ângulo da impedância) é:  = arctg (^X/_R) = arctg (ω.^L/_R) =  arctg (ω.τ)                               (3-5)

 

Sendo I_m o valor máximo da onda de uma corrente senoidal simétrica cujo valor eficaz é I_ms , temos:

Então, quando se toma o valor  I_ms como referência (1 p.u) segue:

Considerando que: L = (^X/ω),                                                                                                                    (3-10)

Dividindo-se dois lados da equação (3-2) por  e utilizando as relações (3-7), (3-9) e (3-11), resulta uma equação geral completa para calcular i(t) em função de ^X/_R , ω, t, λ e , porém, em p.u do valor I_ms.

Apenas utilizando as relações (3-7) e (3-11), sem considerar a corrente em p.u a equação (3-2) se torna:

Observa-se que o tempo t em todas equações mostradas até aqui está em segundos. Observe ainda que a constante de tempo em segundos pode ser escrita também da seguinte forma:

Utilizando a relação (3-3), as equações (3-2), (3-13) e (3-14) podem ser reescritas da seguinte forma:

4 – Variantes na apresentação da equação da corrente de curto-circuito

 Em áreas da engenharia elétrica relacionadas ao fenômeno do curto-circuito, dimensionamento de disjuntores, estudos de transitórios, estudos de proteção, dentre outros, é usual o emprego da equação (3-2). Essa equação aparece na forma de variantes, que, se não forem identificadas e bem entendidas, podem ocasionar transtornos e erros de cálculo. As principais variantes são obtidas realizando as seguintes alterações:

a) Considerando o tempo em ciclos em vez de segundos;

c) Modificando o sinal do termo da componente de corrente contínua de menos (-) para mais (+);

 

d) Escrevendo as equações em função da corrente eficaz simétrica( I_ms);

 

e) Escrevendo a equação em termo da função cosseno, em vez de utilizar a função seno.

A seguir são mostradas algumas destas equações. O leitor deve familiarizar-se com as variantes, sendo que existem inúmeras possibilidades de combinações entre elas. No entanto, com o conhecimento aqui exposto, facilmente se identifica a forma na qual a corrente de curto-circuito está concebida e pode-se, com alguma manipulação matemática, transitar entre as formulações.

Equações com o tempo em ciclos em vez de segundos

Em todas equações da corrente de curto-circuito vistas anteriormente, o tempo está em segundos. Para determinadas análises, como abertura de disjuntores e operação de relés instantâneos, por exemplo, é comum utilizar o tempo em ciclos.

Lembrando que em um segundo ocorrem f ciclos (em que f é a frequência em ciclos/segundos), a relação entre o tempo em segundos, e o tempo t’ em ciclos será:

Podemos então substituir nas equações t por ^t´/_f  e estas ficarão expressas com o tempo em ciclos. Na maioria das equações onde aparece o termo ω.t, com t em segundos, passando t para ciclos tem-se:

Portanto, com o tempo em ciclos, o termo f (frequência) desaparece das equações, onde o termo ω.t está presente. Com estes conceitos podemos reescrever todas as equações anteriores (3-3), (3-13), (3-14), (3-16), (3-17) e (3-18).

 

Apenas para ilustração reescreveremos as equações (3-13) e (3-14), em que o termo w aparece tanto na componente alternada como na contínua:

A equação (3-13), em que  i(t)`está em p.u do valor I_ms, torna-se:

 

Substituição do ângulopor arctg (^X/_R)

 Essa substituição é imediatamente reconhecida e não necessita maiores considerações. A equação (3-18), por exemplo, torna-se:

Modificando o sinal do termo da componente de corrente contínua

Sabe-se que para um ângulo qualquer β, é verdade que: sen(-β) = -sen(β). Aplicando esta igualdade para o termo da corrente contínua, segue: . A equação (3-18) anterior, por exemplo, torna-se:

Escrevendo as equações em função da corrente simétrica eficaz (I_rms)

Escrevendo as equações em p.u da corrente de pico I_m

 As equações que não estiverem expressas em p.u podem ser facilmente formuladas em p.u em função do valor máximo (valor de pico) da componente simétrica.

a equação (4-5), por exemplo, fica:

Escrevendo as equações com a função cosseno no lugar da função seno

 

Considerando os ângulos em radianos, sabemos que para um ângulo β qualquer: sen(β + ^π/₂) = cosβ. Portanto, se somarmos ^π/₂ a λ, (o que equivale a deslocar o eixo das ordenadas de  ^π/₂ para direita), todas as equações anteriores poderão ser escritas em termos de cosseno no lugar de seno. Isto equivale também a aplicarmos no circuito da Figura 3 uma fonte: E_m ^. cos(ω.t + λ) em vez de E_m ^. sen(ω.t + λ). A equação (3-2) ficaria, por exemplo:

Outras formas de apresentação da corrente de curto-circuito

Verifica-se, portanto, que a corrente de curto-circuito trifásica possui uma componente contínua e uma componente alternada e que a impedância envolvida na falta pode ser aproximada por uma impedância RL. A expressão matemática que define essa corrente surge naturalmente como solução da equação diferencial relativa ao circuito elétrico, na condição de curto-circuito. A solução da equação apresenta uma componente senoidal, relativa à contribuição da fonte, e uma componente exponencial decrescente. A componente senoidal depende, essencialmente, do valor da impedância do circuito, enquanto a componente exponencial, ou componente DC, irá depender do instante em que ocorre o curto-circuito, do valor de sen(λ –), e do valor da razão ^X/_R do circuito. O termo sen(λ –) irá definir o valor inicial da componente DC ao passo que o valor de ^X/_R irá determinar quão “rápido” a componente DC irá decrescer.

 

Continua…

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Referências bibliográficas

• IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 1A021, NO.2, MARCH/APRIL 1985 – Relationship of X/R, Ip, and I_rms’ to Asymmetry in Resistance Circuits.
• IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 1A-21. NO 4, JULY/AUGUST 1985 – Understanding Asymmetry. Craig N. Hartman. Hermann W. Reichenstein; Juan C. Gomez.
• EDMINISTER, Joseph A. Circuitos Elétricos, 2ª ed. São Paulo: editora McGRAW-HILL LTDA.
• IEC 62271-100: Alternating-current circuit-breakers.
• 09-1999 – IEEE Standard Test Procedure for AC High-Voltage Circuit Breakers Rated on a Symmetrical Current Basis

Por Paulo Fernandes Costa e Filipe Barcelos Resende*