Entendendo o X/R e o ângulo da corrente de curto-circuito

Edição 110 – Março 2015
Por Cláudio Sérgio Mardegan

Muitas vezes passa-se despercebido por essas pequenas diferenças entre o X/R e o ângulo da corrente de curto-circuito. Serão demonstradas a seguir essas diferenças para o curto-circuito trifásico e para o curto-circuito fase-terra.

Definições

X/R

Na prática, a relação X/R está atrelada à constante de tempo do circuito. Por definição, a constante de tempo de um circuito L-R é dada pela equação seguinte:

Multiplicando-se o numerador e o denominador da equação [Eq. 01] por w, tem-se:

O X/R refere-se à relação entre a parte real e a parte imaginária da impedância, como pode ser visualizado na equação [Eq. 03]:

A relação X/R consiste da relação entre as reatâncias reduzidas de Thevenin nos pontos de falta divididas pelas resistências reduzidas de Thevenin no ponto de falta.

X/R e os circuitos de sequência

Correntes de curto-circuito

Ângulo da corrente de correntes de curto-circuito trifásicas e o X/R

Para o curto-circuito trifásico, essas duas definições se confundem e representam a mesma coisa. Ou seja, o ângulo da impedância complexa é igual ao ângulo da corrente de curto-circuito fase-terra.

Seja a impedância reduzida equivalente de Thevenin no ponto de falta igual a Z1Ðq. A corrente de curto-circuito trifásica, por definição, é dada por:

Conclusão: para faltas trifásicas o ângulo da impedância se confunde com o ângulo da corrente de curto-circuito trifásico (a menos do sinal, é claro!).

Ângulo das correntes de curto-circuito fase-terra e o X/R

Para o curto-circuito fase-terra essas duas definições se diferem. Vejam o porquê:

Ou seja, o ângulo da impedância Z₀ é diferente do ângulo da corrente de curto-circuito fase-terra. O ângulo da corrente de curto-circuito fase-terra é definido a partir da soma das impedâncias:

Logo, X/R é diferente da tgj.

Exemplo 1

Um sistema de 13,8 kV possui uma corrente de curto-circuito trifásica de 10.000Ð-86.186°. A (tgj₁ = 15) e um curto-circuito fase-terra de 7.000Ð-84.289° A(tgj₀ = 10). Qual é o X/R das impedâncias de sequência positiva e zero?

Solução:

Ângulo da impedância de sequência positiva

O ângulo da corrente de curto-circuito é o mesmo do ângulo da impedância de sequência positiva.

Ângulo da impedância de sequência zero

Para o caso do curto-circuito fase-terra, a tangente do ângulo da corrente de curto-circuito fase terra não é igual à relação X/R do circuito de sequência zero.

Exemplo 2

Um sistema de 13,8 kV possui uma corrente de curto-circuito trifásica de 10.000 A e a fase-terra de 7.000 A. Sabendo-se que a relação X/R da impedância de sequência positiva é 15 e a de sequência zero é 10, determina-se o ângulo da corrente de curto-circuito trifásica e da corrente de curto-circuito fase-terra.

Solução:

Ângulo da corrente de curto-circuito trifásico

Ângulo da corrente de curto-circuito fase-terra

Para o caso em questão, o valor de Z_TOT é calculado como segue:

Na equação acima, a única variável que não é conhecida é R₀. Assim, ela será isolada de maneira que se possa calculá-la.

A equação acima é de segundo grau em R₀. Assim, a solução é fórmula de Báscara:

Em que:

Para o caso em questão, os cálculos serão realizados em pu, na base de 100 MVA.

Calculando os valores de a,b e c, tem-se:

Nossa equação acima ficaria escrita da seguinte forma:

Que resolvendo a equação de segundo grau resulta em:

O ângulo da corrente de curto-circuito fase-terra será: